二次根式教案10篇

二次根式教案1

  目 标

  1. 熟练地运用二次根式的性质化简二次根式;

  2. 会运用二次根式解决简单的实际问题;

  3. 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。

  教学设想

  本节课的重点是:二次根式及其运算的实际应用;难点是:例7涉及多方面的知识和综合运用,思路比较复杂。

  教 学 程序 与 策 略

  一、预***检测

  1.解决节前问题:

  如图,架在消防车上的云梯AB长为15m,AD:BD=1 :0.6,云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗?

  归纳:

  在日常生活和生产实际中,我们在解决一 些问题,尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。

  二、合作交流:

  1、:如图,扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6,AE= 米,BC= CD。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,他经过了多少路程(结果要求先化简,再取近似值,精确到0.01米)

  让学生有充分的时间阅读问题,并结合图形分析问题:(1)所求的路程实际上是哪些线段的和?哪些线段的长是已知的?哪些线段的长是未知的?它们之间有什么关系?(2)列出的算式中有哪些运算?能化简吗?

  注意解题格式

  教 学 程 序 与 策 略

  三、巩固练***:

  完成课本P17、1,组长检查反馈;

  四、拓展提高:

  1:如图是一张等腰三角形彩色纸,AC=BC=40cm,将斜边上的高CD四等分,然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。(1)分别求出3张长方形纸条的长度。(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如右图,正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。

  师生共同分析解题思路,请学生写出解题过程。

  五、课堂小结:

  1.谈一谈:本节课你有什么收获?

  2.运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题

  六、堂堂清

  1: 作业本(2)

  2:课本P17页:第4、5题选做。

二次根式教案2

  一、教学目标

  1.了解二次根式的意义;

  2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;

  3. 掌握二次根式的性质 和 ,并能灵活应用;

  4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;

  5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

  二、教学重点和难点

  重点:(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.

  难点:确定二次根式中字母的取值范围.

  三、教学方法

  启发式、讲练结合.

  四、教学过程

  (一)复***提问

  1.什么叫平方根、算术平方根?

  2.说出下列各式的意义,并计算:

  通过练***使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.

  观察上面几个式子的`特点,引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零,其中 ,

  表示的是算术平方根.

  (二)引入新课

  我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容,引出:

  新课:二次根式

  定义: 式子 叫做二次根式.

  对于 请同学们讨论论应注意的问题,引导学生总结:

  (1)式子 只有在条件a0时才叫二次根式, 是二次根式吗? 呢?

  若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零,因此字母范围的限制也是根式的一部分.

  (2) 是二次根式,而 ,提问学生:2是二次根式吗?显然不是,因此二次

  根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子,并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义,由学生分析、回答.

  例1 当a为实数时,下列各式中哪些是二次根式?

  分析: , , , 、 、 、 四个是二次根式. 因为a是实数时,a+10、a2-1不能保证是非负数,即a+10、a2-1可以是负数(如当a-10时,a+10又如当0

  例2 x是怎样的实数时,式子 在实数范围有意义?

  解:略.

  说明:这个问题实质上是在x是什么数时,x-3是非负数,式子 有意义.

  例3 当字母取何值时,下列各式为二次根式:

  (1) (2) (3) (4)

  分析:由二次根式的定义 ,被开方数必须是非负数,把问题转化为解不等式.

  解:(1)∵a、b为任意实数时,都有a2+b20,当a、b为任意实数时, 是二次根式.

  (2)-3x0,x0,即x0时, 是二次根式.

  (3) ,且x0,x0,当x0时, 是二次根式.

  (4) ,即 ,故x-20且x-20, x2.当x2时, 是二次根式.

  例4 下列各式是二次根式,求式子中的字母所满足的条件:

  (1) ; (2) ; (3) ; (4)

  分析:这个例题根据二次根式定义,让学生分析式子中字母应满足的条件,进一步巩固二次根式的定义,.即: 只有在条件a0时才叫二次根式,本题已知各式都为二次根式,故要求各式中的被开方数都大于等于零.

  解:(1)由2a+30,得 .

  (2)由 ,得3a-10,解得 .

  (3)由于x取任何实数时都有|x|0,因此,|x|+0.10,于是 ,式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.

  (4)由-b20得b20,只有当b=0时,才有b2=0,因此,字母b所满足的条件是:b=0.

  (三)小结(引导学生做出本节课学***内容小结)

  1.式子 叫做二次根式,实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.

  2.式子中,被开方数(式)必须大于等于零.

  (四)练***和作业

  练***:

  1.判断下列各式是否是二次根式

  分析:(2) 中, , 是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时,x、x+1不能保证是非负数,即x、x+1可以是负数(如x0时,又如当x-1时=,因此(1)(3)(4)不是二次根式,(6)无意义.

  2.a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?

  五、作业

  教材P.172***题11.1;A组1;B组1.

  六、板书设计

二次根式教案3

  目 标

  1. 熟练地运用二次根式的性质化简二次根式;

  2. 会运用二次根式解决简单的实际问题;

  3. 进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。

  教学设想

  本节课的重点是:二次根式及其运算的实际应用;难点是:例7涉及多方面的知识和综合运用,思路比较复杂。

  教 学 程序 与 策 略

  一、预***检测

  1.解决节前问题:

  如图,架在消防车上的云梯AB长为15m,AD:BD=1 :0.6,云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的.距离AE吗?

  归纳:

  在日常生活和生产实际中,我们在解决一 些问题,尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。

  二、合作交流:

  1、:如图,扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6,AE= 米,BC= CD。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,他经过了多少路程(结果要求先化简,再取近似值,精确到0.01米)

  让学生有充分的时间阅读问题,并结合图形分析问题:(1)所求的路程实际上是哪些线段的和?哪些线段的长是已知的?哪些线段的长是未知的?它们之间有什么关系?(2)列出的算式中有哪些运算?能化简吗?

  注意解题格式

  教 学 程 序 与 策 略

  三、巩固练***:

  完成课本P17、1,组长检查反馈;

  四、拓展提高:

  1:如图是一张等腰三角形彩色纸,AC=BC=40cm,将斜边上的高CD四等分,然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。(1)分别求出3张长方形纸条的长度。(2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边(纸条不重叠),如右图,正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm。

  师生共同分析解题思路,请学生写出解题过程。

  五、课堂小结:

  1.谈一谈:本节课你有什么收获?

  2.运用二次根式解决简单的实际问题时应注意的的问题

  六、堂堂清

  1: 作业本(2)

  2:课本P17页:第4、5题选做。

二次根式教案4

  教学目的

  1.使学生掌握最简二次根式的定义,并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式;

  2.会运用积和商的算术平方根的性质,把一个二次根式化为最简二次根式。

  教学重点

  最简二次根式的定义。

  教学难点

  一个二次根式化成最简二次根式的方法。

  教学过程

  一、复***引入

  1.把下列各根式化简,并说出化简的根据:

  2.引导学生观察考虑:

  化简前后的根式,被开方数有什么不同?

  化简前的被开方数有分数,分式;化简后的被开方数都是整数或整式,且被开方数中开得尽方的因数或因式,被移到根号外。

  3.启发学生回答:

  二次根式,请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式?

  二、讲解新课

  1.总结学生回答的内容后,给出最简二次根式定义:

  满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:

  (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;

  (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

  最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母;分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2;特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。

  2.练***:

  下列各根式是否为最简二次根式,不是最简二次根式的说明原因:

  3.例题:

  例1 把下列各式化成最简二次根式:

  例2 把下列各式化成最简二次根式:

  4.总结

  把二次根式化成最简二次根式的根据是什么?应用了什么方法?

  当被开方数为整数或整式时,把被开方数进行因数或因式分解,根据积的算术平方根的性质,把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。

  当被开方数是分数或分式时,根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。

  此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式,然后分子、分母再分别化简。

  三、巩固练***

  1.把下列各式化成最简二次根式:

  2.判断下列各根式,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二次根式?如果不是,把它化成最简二次根式。

  四、小结

  本节课学***了最简二次根式的定义及化简二次根式的方法。同学们掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式,要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式,特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解,被开方数为两个分数的和则要先通分,再化简。

  五、布置作业

  下列各式化成最简二次根式:

二次根式教案5

  一、内容和内容解析

  1.内容

  二次根式的除法法则及其逆用,最简二次根式的概念。

  2.内容解析

  二次根式除法法则及商的算术平方根的探究,最简二次根式的提出,为二次根式的运算指明了方向,学***了除法法则后,就有比较丰富的运算法则和公式依据,将一个二次根式化成最简二次根式,是加减运算的基础.

  基于以上分析,确定本节课的教学重点:二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,最简二次根式.

  二、目标和目标解析

  1.教学目标

  (1)利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;

  (2)会进行简单的二次根式的除法运算;

  (3)理解最简二次根式的概念.

  2.目标解析

  (1)学生能通过运算,类比二次根式的乘法法则,发现并描述二次根式的除法法则;

  (2)学生能理解除法法则逆用的意义,结合二次根式的概念、性质、乘除法法则,对简单的二次根式进行运算.

  (3)通过观察二次根式的运算结果,理解最简二次根式的特征,能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.

  三、教学问题诊断分析

  本节内容主要是在做二次根式的除法运算时,分母含根号的处理方式上,学生可能会出现困难或容易失误,在除法运算中,可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行,也可以先利用分式的性质,去掉分母中的根号,再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似,如果分子、分母中含有相同的因式,可以直接约去,以简化运算.教学中不能只是列举题型,应以各级各类***题为载体,引导学生把握运算过程,估计运算结果,明确运算方向.

  本节课的教学难点为:二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.

  四、教学过程设计

  1.复***提问,探究规律

  问题1.二次根式的乘法法则是什么内容?化简二次根式的一般步骤怎样?

  师生活动,学生回答。

  【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程,类比该过程,学生可以探究除法法则.

  五、目标检测设计

二次根式教案6

  一、教学目标

  1.了解二次根式的意义;

  2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;

  3.掌握二次根式的性质和,并能灵活应用;

  4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;

  5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

  二、教学重点和难点

  重点:(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.

  难点:确定二次根式中字母的取值范围.

  三、教学方法

  启发式、讲练结合.

  四、教学过程

  (一)复***提问

  1.什么叫平方根、算术平方根?

  2.说出下列各式的意义,并计算:

  通过练***使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.

  观察上面几个式子的特点,引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零,其中,

  表示的是算术平方根.

  (二)引入新课

  我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容,引出:

  新课:二次根式

  定义:式子叫做二次根式.

  对于请同学们讨论论应注意的问题,引导学生总结:

  (1)式子只有在条件a0时才叫二次根式,是二次根式吗?呢?

  若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零,因此字母范围的限制也是根式的一部分.

  (2)是二次根式,而,提问学生:2是二次根式吗?显然不是,因此二次

  根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子,并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义,由学生分析、回答

  当字母取何值时,下列各式为二次根式:

  (1)(2)(3)(4)

  分析:由二次根式的定义,被开方数必须是非负数,把问题转化为解不等式

  解:(1)∵a、b为任意实数时,都有a2+b20,当a、b为任意实数时,是二次根式

  (2)-3x0,x0,即x0时,是二次根式.

  (3),且x0,x0,当x0时,是二次根式.

  (4),即,故x-20且x-20,x2.当x2时,是二次根式.

  例4下列各式是二次根式,求式子中的字母所满足的条件:

  (1);(2);(3);(4)

  分析:这个例题根据二次根式定义,让学生分析式子中字母应满足的条件,进一步巩固二次根式的定义,.即:只有在条件a0时才叫二次根式,本题已知各式都为二次根式,故要求各式中的被开方数都大于等于零.

  解:(1)由2a+30,得.

  (2)由,得3a-10,解得.

  (3)由于x取任何实数时都有|x|0,因此,|x|+0.10,于是,式子是二次根式.所以所求字母x的取值范围是全体实数.

  (4)由-b20得b20,只有当b=0时,才有b2=0,因此,字母b所满足的条件是:b=0.

  (三)小结(引导学生做出本节课学***内容小结)

  1.式子叫做二次根式,实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.

  2.式子中,被开方数(式)必须大于等于零.

  (四)练***和作业

  练***:

  1.判断下列各式是否是二次根式

  分析:(2)中,,是二次根式;(5)是二次根式.因为x是实数时,x、x+1不能保证是非负数,即x、x+1可以是负数(如x0时,又如当x-1时=,因此(1)(3)(4)不是二次根式,(6)无意义.

  2.a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?

  五、作业

  教材P.172***题11.1;A组1;B组1.

二次根式教案7

  一、教学过程

  (一)复***提问

  1.什么叫二次根式?

  2.下列各式是二次根式,求式子中的字母所满足的条件:

  (3)∵x取任何值都有2x2≥0,所以2x2+1>0,故x的取值为任意实数.

  (二)二次根式的简单性质

  上节课我们已经学***了二次根式的定义,并了解了第一个简单性质

  我们知道,正数a有两个平方根,分别记作零的平方根是零。引导学生总结出,其中,就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算,看作将一个数进行平方的运算,而开平方运算和平方运算是互为逆运算,因而有:

  这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0,提问学生,a可以代表一个代数式吗?

  请分析:引导学生答如时才成立。

  时才成立,即a取任意实数时都成立。

  我们知道

  如果我们把,同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了.

  例1计算:

  分析:这个例题中的四个小题,主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学***的积的幂的运算性质.结合第(2)小题中的,说明,这与带分数。因此,以后遇到,应写成,而不宜写成。

  例2把下列非负数写成一个数的平方的形式:

  (1)5;(2)11;(3)1。6;(4)0。35.

  例3把下列各式写成平方差的形式,再分解因式:

  (1)4x2—1;(2)a4—9;

  (3)3a2—10;(4)a4—6a2+9

  解:(1)4x2—1

  =(2x)2—12

  =(2x+1)(2x—1)

  (2)a4—9

  =(a2)2—32

  =(a2+3)(a2—3)

  (3)3a2—10

  (4)a4—6a2+32

  =(a2)2—6a2+32

  =(a2—3)2

  (三)小结

  1.继续巩固二次根式的定义,及二次根式中被开方数的取值范围问题.

  2.关于公式的应用。

  (1)经常用于乘法的运算中.

  (2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式,解决在实数范围内因式分解等方面的问题.

  (四)练***和作业

  练***:

  1.填空

  注意第(4)题需有2m≥0,m≥0,又需有—3m≥0,即m≤0,故m=0.

  2.实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示:

  分析:通过本题渗透数形结合的思想,进一步巩固二次根式的定义、性质,引导学生分析:由于a<0,b>0,且|a|>|b|.

  3.计算

  二、作业

  教材P.172***题11.1;A组2、3;B组2.

  补充作业:

  下列各式中的字母满足什么条件时,才能使该式成为二次根式?

  分析:要使这些式成为二次根式,只要被开方式是非负数即可,启发学生分析如下:

  (1)由—|a—2b|≥0,得a—2b≤0,

  但根据绝对值的性质,有|a—2b|≥0,

  ∴|a—2b|=0,即a—2b=0,得a=2b.

  (2)由(—m2—1)(m—n)≥0,—(m2+1)(m—n)≥0

  ∴(m2+1)(m—n)≤0,又m2+1>0,

  ∴m—n≤0,即m≤n.

  说明:本题求解较难些,但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式.通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力,并且进一步巩固二次根式的概念.

  三、板书设计

二次根式教案8

  教学目标

  1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练 地化简含二次根式的式子;

  2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

  教学重点和难点

  重点:含二次根式的式子的混合运算.

  难点:综合运用二次根式的 性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

  教学过程设计

  一、复***

  1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质?用式子表示出来,并说明各 式成立的条件.

  指出:二次根式的这些基本性质都是在一定条件 下才成立的,主要应用于化简二次根式.

  2.二次根式 的乘法及除法的法则是什么?用式子表示出来.

  指出:二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除,

  计算结果要把分母有理化.

  3.在二次根式的化简或计算中,还常用到以下两个二次根式的关系式:

  4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中,常运用三个可逆的式子:

  二、例题

  例1 x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义:

  分析:

  (1)题是两个二次根式的和,x的取值必须使两个二次根式都有意义;

  (3)题是两个二次根式的和, x的取值必须使两个二次根式都有意义;

  (4)题的分子是二次根式,分母是含x的单项式,因此x的取值必须使二次根式有意义,同时使分母的值不等于零.

  x-2且x0.

  解因为n2-90, 9-n20,且n-30,所以n2=9且n3,所以

  例3

  分析:第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式.把它们分别分解因式后,再利用二次根式的基本性质把式子化简,化简中应注意利用题中的隐含条件3 -a0和1-a>0.

  解 因为1-a>0,3-a0,所以

  a<1,|a-2|=2-a.

  (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0.

  这些性质化简含二次根式的式子时,要注意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足这些条件的.

  问:上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式?

  分析:先把第二个式子化简,再把两个式子进行通分,然后进行计算.

  注意:

  所以在化简过程中,

  例6

  分析:如果把两个式子通分,或把每一个式子的分母有理化再进行计算,这两种方法的运算量都较大,根据式子的结构特点,分别把两个式子的分母看作一个整体,用换元法把式子变形,就可以使运算变为简捷.

  a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2),

  三、课堂练***

  1.选择题:

  A.a2B.a2

  C.a2D.a<2

  A .x+2 B.-x-2

  C.-x+2D.x-2

  A.2x B.2a

  C.-2x D.-2a

  2.填空题:

  4.计算:

  四、小结

  1.本节课复***的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识,同学们要深刻理解并牢固掌握.

  2.在一次根式的化简、计算及求值的过程中,应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件),即被开方数为非负数,以确定被开方数中的字母或式子的取值范围.

  3.运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时,一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件.

  4.通过例题的讨论,要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解,解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题.

  五、作业

  1.x是什么值时,下列各式在实数范围内有意义?

  2.把下列各式化成最简二次根式:

二次根式教案9

  一、教学目标

  1、使学生知道什么是最简二次根式,遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式。

  2、使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。

  3、使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用。

  二、教学重点和难点

  1、重点:能够把所给的二次根式,化成最简二次根式。

  2、难点:正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法。

  三、教学方法

  通过实际运算的例子,引出最简二次根式的概念,再通过解题实践,总结归纳化简二次根式的方法。

  四、教学手段

  利用投影仪。

  五、教学过程

  (一)引入新课

  提出问题:如果一个正方形的面积是0。5m2,那么它的边长是多少?能不能求出它的近似值?

  了。这样会给解决实际问题带来方便。

  (二)新课

  由以上例子可以看出,遇到一个二次根式将它化简,为解决问题创

  这两个二次根式化简前后有什么不同,这里要引导学生从两个方面考虑,一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了,另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数。

  总结满足什么样的条件是最简二次根式。即:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:

  1、被开方数的因数是整数,因式是整式。

  2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

  例1 指出下列根式中的最简二次根式,并说明为什么。

  分析:

  说明:这里可以向学生说明,前面两小节化简二次根式,就是要求化成最简二次根式。前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式。

  例2 把下列各式化成最简二次根式:

  说明:引导学生观察例2题中二次根式的特点,即被开方数是整式或整数,再启发学生总结这类题化简的方法,先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简。

  例3 把下列各式化简成最简二次根式:

  说明:

  1、引导学生观察例题3中二次根式的特点,即被开方数是分数或分式,再启发学生总结这类题化简的方法,先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化化简。

  2、要提问学生

  问题,通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件。

  通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况,并引导学生小结应该注意的问题。

  注意:

  ①化简时,一般需要把被开方数分解因数或分解因式。

  ②当一个式子的分母中含有二次根式时,一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子,也就是把它的分母进行有理化。

  (三)小结

  1、满足什么条件的根式是最简二次根式。

  2、把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法。

  (四)练***

  1、指出下列各式中的最简二次根式:

  2、把下列各式化成最简二次根式:

  六、作业

  教材P.187***题11.4;A组1;B组1。

  七、板书设计

二次根式教案10

  1.教学目标

  (1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;

  (2)会用公式化简二次根式.

  2.目标解析

  (1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广,得出乘法法则的内容;

  (2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,化简二次根式.

  教学问题诊断分析

  本节课的学***中,学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后,对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算***惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关,由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系,例如,整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立,在教学中,要多从联系性上下力气.,培养学生良好的运算***惯.

  在教学时,通过实例运算,对于将一个二次根式化为最简二次根式,一般有两种情况:(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数),可以采用直接利用分式的性质,结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1),也可以先写成算术平方根的商的形式,再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母,可以先将它分解因数或分解因式,然后吧开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简.

  本节课的教学难点为:二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.

  教学过程设计

  1.复***引入,探究新知

  我们前面已经学***了二次根式的概念和性质,本节课开始我们要学***二次根式的乘除.本节课先学***二次根式的乘法.

  问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?

  师生活动 学生回答。

  【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.

  问题2 教材第6页“探究”栏目,计算结果如何?有何规律?

  师生活动 学生计算、思考并尝试归纳,引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容.

  【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律,运用类比思想,由特殊到一般地,采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则,以培养学生的符号意识.

  2.观察比较,理解法则

  问题3 简单的根式运算.

  师生活动 学生动手操作,教师检验.

  问题4 二次根式的乘除成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?

  师生活动 学生回答,给出正确答案后,教师给出积的算术平方根的性质.

  【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算,以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质,性质是为运算服务的,积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积,利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式,培养学生的运算能力.

  3.例题示范,学会应用

  例1 化简:(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除.

  师生活动 提问:你是怎么理解例(1)的?

  如果学生回答不完善,再追问:这个问题中,就直接将结果算成二次根式的乘除可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?

  师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果,一般被开方数中有开得尽方的因数或因式,应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外.

  再提问:你能仿照第(1)题的解答,能自己解决(2)吗?

  【设计意图】通过运算,培养学生的运算能力,明确二次根式化简的`方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

  例2 计算:(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除; (3)二次根式的乘除

  师生活动 学生计算,教师检验.

  (1)在被开方数相乘的时候,就可以考虑因数或因式分解,由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先写成二次根式的乘除再分解;

  (2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算,交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时,可以将系数先相乘作为积的系数,再对根式进行运算;

  (3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质,得到二次根式的乘除,然后利用二次根式的乘法法则,变成二次根式的乘除,由于二次根式的乘除可以判断二次根式的乘除,因此直接将x移出根号外.

  【设计意图】引导学生及时总结,强调利用运算律进行运算,利用乘法公式简化运算.让学生认识到,二次根式是一类特殊的实数,因此满足实数的运算律,关于整式运算的公式和方法也适用.

  教材中虽然指明,如未特别说明,本章中所有的字母都表示正数,但仍应强调,看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断,在移出根号时正确处理符号问题.

  4.巩固概念,学以致用

  练***:教科书第7页练***第1题. 第10页***题16.2第1题.

  【设计意图】巩固性练***,同时检验乘法法则的掌握情况.

  5.归纳小结,反思提高

  师生共同回顾本节课所学内容,并请学生回答以下问题:

  (1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?

  (2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?

  (3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?

  6.布置作业:教科书第7页第2、3题.***题16.2第1,6题.

  五、目标检测设计

  1.下列各式中,一定能成立的是( )

  A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除

  C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除

  【设计意图】考查二次根式的概念和性质,这是进行二次根式的乘法运算的基础.

  2.化简二次根式的乘除 ______________________________。

  【设计意图】二次根式是特殊的实数,实数的相关运算法则也适用于二次根式.

  3.已知二次根式的乘除,化简二次根式二次根式的乘除的结果是(  )

  A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除 C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除

  【设计意图】巩固二次根式的性质,利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式.